До учнівської олімпіади з астрономії 2017/2018 Харків 10 клас.
Задача 1. (25 балів) В романі І. Єфремова «Час Бика» дії проходять на вигаданій планеті
Торманс, яка обертається навколо червоної зорі невисокої світності з орбітальним періодом, що
дорівнює ¼ земного року. Клімат на планеті схожий на клімат Землі з тією відмінністю, що
сезонні зміни на Тормансі практично відсутні, тому що вісь обертання планети лежить точно у
площині орбіти, причому одна півкуля («головна») завжди направлена вперед за напрямом
орбітального руху планети, а інша («хвостова») – назад.
– Пояснити, чи може бути такий рух планети і чому?
– Як повинна бути орієнтована вісь обертання планети, щоб на ній не було сезонних змін
температури?
– З урахуванням того, що світність зорі головної послідовності приблизно пропорційна кубу їх
мас, розрахувати:
параметри зорі, а саме: масу, світність і спектральний клас,
та відстань між Тормансом і центральною зорею.
Розв’язок.
– Такий рух планети неможливий, оскільки суперечить закону збереження моменту імпульсу.
(2 б.)
– Для того, щоб не було сезонних змін, необхідно і достатньо, щоб вісь обертання була
перпендикулярною до площини орбіти планети. (2 б.)
– Розрахунки зручно виконати, прийнявши наступні одиниці виміру:
= масу і світність – в одиницях маси і світності Сонця,
= відстань між планетою і зорею – в астрономічних одиницях,
= тривалість року – в земних роках.
Тоді, за третім законом Кеплера, маса зорі є
а
3
/Т
2
= M. (2 б.)
Кількість енергії, яка падає на одиницю площі поверхні планети, дорівнює
L/a
2
= M
3
/a
2
= 1, (2 б.)
Звівши друге співвідношення в степінь 1.5 і підставивши його в перше – одержимо
Т
2
= М
7/2
,
Тоді:
М = Т
4/7 = 0.254/7 = 0.453 М
. (5 б.)
L = M
3
= Т
12/7 = 0.2512/7 = 0.093 L
. (5 б.)
а = (MT2
)
1/3
= T
6/7 = 0.256/7 = 0.304 a.e. (5 б.)
Такі маса і світність характерні для зір спектрального класу М. (2 б.)
Задача 2. (15 балів) В одному з оповідань С. Лема про пілота Піркса («Умовний рефлекс») дія відбувається на оберненій стороні Місяця. С. Лем пише: «Піркс зрозумів, про що говорить росіянин: на цій стороні довгі місячні ночі не освітлює величезний ліхтар Землі. – А інфрачервоні окуляри тут не допоможуть? – спитав він. Пнін посміхнувся. – Інфрачервоні окуляри? Який в них толк, колего, …» Чому місячною ніччю інфрачервоні окуляри (прилад нічного бачення) не допоможуть бачити деталі місячної поверхні? Розв’язок. Прилади нічного бачення реагують на різницю потоків в інфрачервоній ділянці спектру, які визначаються різницею в температурах різних ділянок поверхні Місяця (10 б.). Місячною ніччю температура його поверхні знижується приблизно до 110 K, суттєво знижуються потоки випромінювання і також контрасти температури (5 б.). Тому ніччю на Місяці інфрачервоні окуляри не будуть функціонувати.
Задача 3. (15 балів) Чи можна побачити диск Сонця з поверхні карликової планети Плутон неозброєним оком, та яка буде видима зоряна величина Сонця для такого спостерігача? Розв’язок провести з урахуванням ексцентриситету орбіти. Розв’язок. Роздільна здатність людського ока становить у середньому одну кутову мінуту. Оскільки орбіта Плутона відрізняється від колової, слід обчислити перигелійну та афелійну відстані, rp = a(1-e) = 30 а.е., ra = a(1+e) = 50 а.о., (3 б.) та кутовий розмір Сонця на цих відстанях. Кутовий розмір Сонця на відстані 1 а. о. становить біля 32 . Оскільки кути малі, то можна тангенси кутів замінити значеннями самих кутів. Тоді одержуємо: rp = 32 / p і ra = 32 / a; p = 32 /(a(1-e)) і a = 32 /(a(1+e)). Підставляючи числові значення, одержуємо: p = 1.1 і a = 0.7 . (5 б.) Отже диск Сонця можна побачити тільки в перигелії на межі роздільної здатності ока. (2 б.) Видима зоряна величина Сонця з Землі (відстань 1 а. о.) становить –26.8 m , а інтенсивність світла обернено пропорційна квадрату відстані. Тоді видима зоряна величина Сонця з відстані Плутона у перигелії буде m = –26.8m + 5lg(30) = –26.8m +7.4m = –19.4m , (5 б.) що значно яскравіше ніж блиск Місяця при його спостереженнях з Землі (-13m ).
Задача 4. (15 балів) Найбільший в Сонячній системі вулкан Олімп на Марсі має в своїй основі діаметр 700 км. Телескоп, якого найменшого діаметру треба мати на Міжнародній космічній станції (МКС), щоб в нього можна було побачити вулкан Олімп у велике протистояння Марса? Чому спостереження потрібно проводити з МКС? Розв’язок. Відстань від Землі до Марса у його велике протистояння дорівнює r a(1 e)-1 (а.о.), (3 б.) де a 228 млн. км – велика піввісь орбіти Марса, е 0.0934– її ексцентриситет. Обчислюючи, одержимо, що r 56 млн. км. Звідси випливає, що кутовий розмір вулкана є 6 5 d 700 / (56 10 ) 1.25 10 рад. (3 б.) Таким чином, роздільна здатність телескопа повинна бути не менше, ніж величина d . Тобто d < D d 1.22 . (3 б.) Для довжини хвилі 7 5 10 м, одержимо, що 7 2 5 1.22 5 10 м 4.9 10 м 5 см 1.25 10 D . (3 б.) Це означає, що для таких спостережень, фактично, достатньо польового бінокля. Спостерігати з МКС потрібно для того, щоб виключити вплив земної атмосфери. (3 б.)
Задача 5. (15 балів) На рисунку зображені два яскравих сузір’я північного і одне південної півкуль небесної сфери і вказані положення найяскравіших зір ( ), що до них належать. а б в Вказати на рисунку, які зображено сузір’я та які назви мають найяскравіші зорі. Розв’язок. Вказані сузір’я північного неба: а – Лебідь (Cyg), (2 б.) в – Орел (Aql) (2 б.) та південної півкулі: б – Південний Хрест (Cru). (4 б.) Їх найяскравіші зорі, відповідно, є: α Cyg – Денеб (2 б.), α Aql – Альтаїр (2 б.), α Cru – Акрукс (3 б.).
Задача 6. (15 балів) Підраховано, що середня густина зір в околі Сонця дорівнює 0.125 зорі на 1 пк3 . Чому дорівнює середня відстань між зорями в околі Сонця в парсеках і в кілометрах? Розв’язок. Зоряна густина це кількість зір на одиницю об’єму. Відповідно цьому обернена їй величина це об’єм, що приходиться на одну зорю, тобто це 8 пк3 . (5 б.) Представимо собі, що зорі разміщені у просторі, тобто в центрах кубічних комірках з об’ємом, що дорівнює 8 пк3 . Тоді ребра цих комірок l = 2 пк. Тобто: l 3 = 8 пк3 , l = 2 пк. (5 б.) (Якщо рішення проведено з використанням об’єму сфери, що дає l = 2.5 пк, вважати це також правильним). Оскольку 1 пк це відстань з котрої 1 астр. одиниця (150 млн. км) видно під кутом одна секунда дуги, то 2 пк = 2·2062265·150·106 км = 6.2·1013 км.
Задача 2. (15 балів) В одному з оповідань С. Лема про пілота Піркса («Умовний рефлекс») дія відбувається на оберненій стороні Місяця. С. Лем пише: «Піркс зрозумів, про що говорить росіянин: на цій стороні довгі місячні ночі не освітлює величезний ліхтар Землі. – А інфрачервоні окуляри тут не допоможуть? – спитав він. Пнін посміхнувся. – Інфрачервоні окуляри? Який в них толк, колего, …» Чому місячною ніччю інфрачервоні окуляри (прилад нічного бачення) не допоможуть бачити деталі місячної поверхні? Розв’язок. Прилади нічного бачення реагують на різницю потоків в інфрачервоній ділянці спектру, які визначаються різницею в температурах різних ділянок поверхні Місяця (10 б.). Місячною ніччю температура його поверхні знижується приблизно до 110 K, суттєво знижуються потоки випромінювання і також контрасти температури (5 б.). Тому ніччю на Місяці інфрачервоні окуляри не будуть функціонувати.
Задача 3. (15 балів) Чи можна побачити диск Сонця з поверхні карликової планети Плутон неозброєним оком, та яка буде видима зоряна величина Сонця для такого спостерігача? Розв’язок провести з урахуванням ексцентриситету орбіти. Розв’язок. Роздільна здатність людського ока становить у середньому одну кутову мінуту. Оскільки орбіта Плутона відрізняється від колової, слід обчислити перигелійну та афелійну відстані, rp = a(1-e) = 30 а.е., ra = a(1+e) = 50 а.о., (3 б.) та кутовий розмір Сонця на цих відстанях. Кутовий розмір Сонця на відстані 1 а. о. становить біля 32 . Оскільки кути малі, то можна тангенси кутів замінити значеннями самих кутів. Тоді одержуємо: rp = 32 / p і ra = 32 / a; p = 32 /(a(1-e)) і a = 32 /(a(1+e)). Підставляючи числові значення, одержуємо: p = 1.1 і a = 0.7 . (5 б.) Отже диск Сонця можна побачити тільки в перигелії на межі роздільної здатності ока. (2 б.) Видима зоряна величина Сонця з Землі (відстань 1 а. о.) становить –26.8 m , а інтенсивність світла обернено пропорційна квадрату відстані. Тоді видима зоряна величина Сонця з відстані Плутона у перигелії буде m = –26.8m + 5lg(30) = –26.8m +7.4m = –19.4m , (5 б.) що значно яскравіше ніж блиск Місяця при його спостереженнях з Землі (-13m ).
Задача 4. (15 балів) Найбільший в Сонячній системі вулкан Олімп на Марсі має в своїй основі діаметр 700 км. Телескоп, якого найменшого діаметру треба мати на Міжнародній космічній станції (МКС), щоб в нього можна було побачити вулкан Олімп у велике протистояння Марса? Чому спостереження потрібно проводити з МКС? Розв’язок. Відстань від Землі до Марса у його велике протистояння дорівнює r a(1 e)-1 (а.о.), (3 б.) де a 228 млн. км – велика піввісь орбіти Марса, е 0.0934– її ексцентриситет. Обчислюючи, одержимо, що r 56 млн. км. Звідси випливає, що кутовий розмір вулкана є 6 5 d 700 / (56 10 ) 1.25 10 рад. (3 б.) Таким чином, роздільна здатність телескопа повинна бути не менше, ніж величина d . Тобто d < D d 1.22 . (3 б.) Для довжини хвилі 7 5 10 м, одержимо, що 7 2 5 1.22 5 10 м 4.9 10 м 5 см 1.25 10 D . (3 б.) Це означає, що для таких спостережень, фактично, достатньо польового бінокля. Спостерігати з МКС потрібно для того, щоб виключити вплив земної атмосфери. (3 б.)
Задача 5. (15 балів) На рисунку зображені два яскравих сузір’я північного і одне південної півкуль небесної сфери і вказані положення найяскравіших зір ( ), що до них належать. а б в Вказати на рисунку, які зображено сузір’я та які назви мають найяскравіші зорі. Розв’язок. Вказані сузір’я північного неба: а – Лебідь (Cyg), (2 б.) в – Орел (Aql) (2 б.) та південної півкулі: б – Південний Хрест (Cru). (4 б.) Їх найяскравіші зорі, відповідно, є: α Cyg – Денеб (2 б.), α Aql – Альтаїр (2 б.), α Cru – Акрукс (3 б.).
Задача 6. (15 балів) Підраховано, що середня густина зір в околі Сонця дорівнює 0.125 зорі на 1 пк3 . Чому дорівнює середня відстань між зорями в околі Сонця в парсеках і в кілометрах? Розв’язок. Зоряна густина це кількість зір на одиницю об’єму. Відповідно цьому обернена їй величина це об’єм, що приходиться на одну зорю, тобто це 8 пк3 . (5 б.) Представимо собі, що зорі разміщені у просторі, тобто в центрах кубічних комірках з об’ємом, що дорівнює 8 пк3 . Тоді ребра цих комірок l = 2 пк. Тобто: l 3 = 8 пк3 , l = 2 пк. (5 б.) (Якщо рішення проведено з використанням об’єму сфери, що дає l = 2.5 пк, вважати це також правильним). Оскольку 1 пк це відстань з котрої 1 астр. одиниця (150 млн. км) видно під кутом одна секунда дуги, то 2 пк = 2·2062265·150·106 км = 6.2·1013 км.
Немає коментарів:
Дописати коментар